Question pour matheux (topologie)

Pause Café
#1

Plop,

Dans le cours, nous avons distingué l’adhérence et la fermeture d’une partie en topologie. Le prof nous a précisé que c’était exactement la même chose dans le cas des espaces métriques. Mais je cherchais un exemple si possible compréhensible d’espace topologique dans lequel il existe une partie qui n’ait pas la fermeture pour adhérence.
J’ai eu beau chercher sur Internet (partout, adhérence et fermeture sont confondus), et poser la question à mon prof de maths (pour le moment, il y réfléchit et me donne un exemple quand il en aura trouvé un), je n’ai toujours pas de réponse à ma question.
C’est pourquoi je mets vos cerveaux à contribution pour résoudre ce problème, si vous le voulez bien, évidemment :wink:

Le fruit de mes réflexions sont juste que dans tout espace topologique, l’adhérence est incluse dans la fermeture. Le problème revient donc à trouver une partie A dans un espace topologique E tel qu’on puisse construire une suite (Sn)n d’éléments qui sont des limites de suites d’éléments de A, mais tel que la limite de (Sn)n ne soit pas elle-même une limite d’une suite d’éléments de A (pour que l’adhérence ne soit pas stbale par limite, et ne soit donc pas le plus petit fermé contenant A…).

Quelques définitions bien utiles pour ce problème, pour ceux qui auraient oublié, ou qui auraient d’autre définitions :
Une espace topologique est un couple (E,O) ou E est un ensemble quelconque, et O est un ensemble de parties de E, stable par intersection finie et par réunion quelconque, et contenant E et l’ensemble vide.
Soit A une partie d’un espace topologique (E,O).
L’adhérence de A est l’ensemble des éléments x de E tels que tout ouvert contenant x intersecte A.
Une définition équivalente de l’adhérence, valable quelque soit les propriétés de l’espace topologique est : l’ensemble des limites de suites d’éléments de A convergeant dans E.
Il faut pour cela la définition de convergence d’une suite : une suite (un)n tend vers u si pour tout ouvert contenant u, il existe un rang n0 tel que pour tout n > n0, un appartient à cet ouvert.
Une partie F de E est fermée si son complémentaire dans E est ouvert.
Reste la définition de la fermeture de A : c’est le plus petit fermé contenant A.
Une définition équivalente est l’intersection de tous les fermés contenant A.

Voilà, c’est tout.

Merci d’avance pour toute réflexion qui pourrait faire avancer le problème, voire même pour toute recherche fructueuse faite sur le net ou ailleurs :wink:

Duna

#2

S’pas faux.

#3

D’après ma copine :

[quote=“Doudou”]Dès que tu parles de suite convergente, tu te places dans un espace métrique. Donc pour trouver un exemple, commence par oublier les histoires de “une suite d’éléments…” ça ne marchera pas. Il faut trouver une topologie (cad définir un ensemble de parties d’un espace comme “les ouverts”) qui ne soit pas habituelle.
Par ailleurs, j’ai une idée mais elle ne me plait pas. E={0,1}, les ouverts sont E et {0} (c’est stable par union, intersection). Il n’existe pas de fermé contenant 0, donc la fermeture de {0} n’existe pas, et le seul ouvert contenant 1 est E et il intersecte {0}, donc l’adhérence de {0} est E. Je crois que dans la définition de topologie, il faut que E et l’ensemble vide soient des ouverts. A ce moment, ça casse mon exemple car E est alors fermé et contient 0 donc la fermeture de {0} est E. Bon courage![/quote]

À quand une section biologie sur le forum ? On est au moins 2 avec eartells.

#4

En effet, j’ai oublié dans ma définition que E et l’ensemble vide doivent appartenir à O. Je m’en vais de ce pas éditer mon post.

Mais pour ce qui est de devoir se placer dans un espace métrique pour avoir des convergences de suites, je n’en suis pas sûr. La notion de distance n’est pas nécessaire pour avoir convergence… Mais il se peut que je me plante.
Et puis je n’ai pas vraiment envie de devoir oublier la notion de suite, parce-que la caractérisation de l’adhérence par les éléments tels que tout ouvert contenant x intersecte la partie n’est pas aussi facilement manipulable que les suites… (Ceci n’est bien sûr pas un argument mathématiquement valable, hein :p)

#5

Si l’adherence de A ne contient pas la fermeture F(A) de A, il existe un point a de la fermeture n’appartenant pas l’adhérence de A. Il existe donc un ouvert O contenant ce point disjoint de A. F=E\O est un fermé contenant A. F’=F(A) inter F est un fermé contenant A (F et F(A) contiennent A), donc contenant F(A) (par définition de F(A)). On en déduit F’=F(A) et F(A) inclus dans F donc a appartient à F or par constrcution a appartient à O complémentaire de F. C’est donc absurde et l’adhérence de A contient la fermeture de A.

En clair a appartient à la fermeture de A ssi a est dans tout fermé contenant A
a n’appartient pas à la fermeture de A ssi il existe un fermé contenant A mais pas a soit
ssi il existe un ouvert contenant a disjoint de A (le complémentaire du précédent) soit ssi a n’est pas adhérent à A.

(en clair fermeture et adhérence, c’est pareil)

Par ailleurs, la notion de convergence n’implique pas la notion de distance. La topologie est faite pour ça.

#6

Salut,
pose ta question là :

forum.mathematex.net/

#7

Plop,

Désolé pour le retard de la réponse.

fran.b, j’ai bien compris ta démonstration, et m’en voilà fort perturbé… Etant donné le niveau auquel enseigne mon prof de maths, je doute qu’il lance des affirmations à la légère. Me serais-je donc planté quelque-part ? Pourtant, je ne crois pas qu’il subsiste beaucoup de travail fait par moi entre les définitions et ta démonstration…

Après nouvelle discussion avec mon prof de maths la semaine prochaine, je viens donner des nouvelles.

Merci pour ta participation fran.b :wink:

#8

Les définitions que tu as données sont parfaitement exactes.

N’y aurait-il pas confusion avec l’ensemble des points d’accumulation d’un ensemble? (Qui lui peut être vide (cas de N par exemple) ou strictement inclus dans la fermeture)

#9

Etant donné que nous n’avons pas abordé le sujet de point d’accumulation, je ne pense pas avoir confondu les deux. Mais peut-être que mon prof a confondu. J’en parle avec lui durant la semaine qui vient.

(J’y pense, peut-être connais-tu mon prof, car donnant des cours à l’agreg.)

#10

Bon, l’erreur venait effectivement de moi. Après avoir montré le début de ta démonstration à mon prof de maths, il m’a dit que partir de cette définition pour l’adhérence menait effectivement à l’égalité entre fermeture et adhérence. La différence devrait apparaître en prenant pour définition de l’adhérence la limite des suites d’éléments de A (est-ce ça l’ensemble des points d’accumulation de A ?)

#11

Non, les points d’accumulation de A sont les points tels que tout ouvert contenant ce point contient au moins 2 points de A.
Dans ce que tu dis, d’accord (bien qu’usuellement l’adhérence désigne la fermeture de A et donc l’ensemble des points adhérents et non l’ensemble des points limites d’une suite de A). En fait l’égalité a lieu dès que tu considères des espaces topologiques à base (comprendre avec une base) dénombrable de voisinages. Tu devrais trouver un contre exemple en te renseignant là dessus mais laisse tomber, c’est largement hors programme et il y a largement de quoi faire avec les espaces métriques (qui eux sont toujpours à base de voisinages dénombrable).

#12

Voilà donc pourquoi mon prof m’a parlé de suites généralisées…
Le niveau est effectivement plutôt élevé. Je vais me contenter de rester dans le cadre du programme de spé pour cette année, il sera toujours temps de voir le reste l’année prochaine, voire plus tard :stuck_out_tongue:

Merci fran.b :wink:

#13

A vérifier, idée en relisant ce post:
E={applications de R vers R}=R^R

un ouvert est de la Produit(O(x),x elt de R)
avec O(x) = R sauf pour un nombre fini de x où O(x) ouvert de R.
(topologie de la convergence simple).

A={f/ f nul sauf en un nombre fini de points}

La cloture de A est E, mais les limites de suites d’éléments de A sont les fonctions nulles sauf en un nombre dénombrable de points.

#14

Je n’arrive pas à comprendre à quoi correspondent les ouverts. Je suis allé voir sur Wikipédia ce qu’est la topologie produit, mais j’ai du me fourvoyer. Car d’après ce que j’ai compris, la convergence d’une fonction selon la topologie produit imposerait à la fonction de ne converger vers sa limite qu’en un seul point… Ce n’est pas l’idéal pour une convergence simple.

EDIT : Ah non ! ça revient en fait à faire des “tubes” autour de la fonction… La définition de la convergence dit bien que c’est vrai POUR TOUT voisinage…

J’ai donc compris, je vérifie donc la suite.

#15

Tu prends un ouvert O contenant la fonction f, c’est de la forme (O(x),x réel) ou O(x)=R sauf pour un nombre fini de réel où c’est un voisinage de f(xk). Si g est la fonction valant f(xk) en ces xk et 0 ailleurs, g appartient à A et g est dans l’ouvert. Donc O inter A est non vide. La cloture de A est donc E. Si tu prends une suite de fonctions (g(n)) de A, si elle converge vers f, si on appelle X la réunion des points où les gn sont non nulles, X est dénombrable. Si xO n’appartient pas à X, Si supposons f(x0)=a>0. Prenons l’ouvert (O(x)) avec O(x)=R sauf pour O(x0)=]a/2,+oo(, Il existe un rang où les g(n) sont dans ce voisnage à partir d’un certain rang n0. À partir de n0, on aurait g(n)(x0)>a/2 ce qui est contradictoire. Donc f(x0)=0 . Bref, f s’annule sauf en un nombre dénombrable de points.

#16

J’ai compris :smiley:

C’était la cloture qui me posait problème, mais ce n’est finalement pas si compliqué que ça !
Merci tout plein pour cet exemple :wink: Voici ma curiosité satisfaite.